Tutorial: Matemática Aplicada a Jogos Digitais – Parte 2: Equações

Um dos grandes problemas que vejo no Ensino Fundamental é a razão de nós termos que encontrar o valor de “x”. Quem inventou isso e por quê?

No Ensino Médio apareceram as primeiras razões através das aulas de Física, mas foi como desenvolvedor de jogos que percebi o quão necessário é entender o conceito de equações.

 

O que é uma equação?

Matematicamente falando, equação é uma afirmação que estabelece uma relação de igualdade entre duas expressões, onde geralmente envolve algum valor desconhecido chamado incógnita e é representado por uma letra. Por exemplo: temos a expressão “x+2” e “-2x-3” e digo que ambas as expressões são iguais. Posso representar isso assim:

x+2 = -2x-3

E assim é criada uma equação. O que essa expressão representa? Isso dependerá do contexto. Costumo dizer que Matemática é paradoxalmente a ciência mais inútil e útil ao mesmo tempo, porque sozinha ela não tem aplicabilidade nenhuma, mas aliada às outras áreas, como Física, engenharias, entre outras, ela se torna fundamental.
Uma das formas de facilitar a resolução da equação é igualá-la a 0. Para isto, temos que colocar todos os elementos da equação para apenas um lado. Vamos pegar o exemplo anterior:

x+2 = -2x-3

Vamos colocar todos os elementos para o lado esquerdo. Vou fazer passo a passo para melhor compreensão. Primeiro, vamos passar o “-3” para o lado esquerdo. A equação ficará assim:

x+2+3 = -2x

Note que o “-3” do lado direito virou “+3” quando foi para o lado esquerdo. Agora vamos pegar o “-2x” e passar para o lado esquerdo. Note que quando há uma multiplicação, os fatores são considerados como um único elemento.

x+2+3+2x = 0

Agora que todos os elementos estão para o lado esquerdo, somamos os elementos com os termos semelhantes. Em outras palavras, somamos os números que não têm incógnitas entre si e depois somamos os que têm. A equação ficará assim:

3x+5 = 0

E assim chegamos na forma mais simples de representar a equação, também conhecida como a Forma Reduzida.

Resolvendo uma Equação

O grau da equação é definido pelo maior expoente encontrado em uma incógnita. Se o maior expoente for 1, a equação será de primeiro grau. Se for 2, será de segundo grau e assim por diante.

A forma de encontrar o valor de uma incógnita em uma equação dependerá do grau da mesma, por isso, explicarei como resolver as mais importantes, começando pelas equações do primeiro grau.

Equação do Primeiro Grau

As equações do primeiro grau tem, na sua forma reduzida, o seguinte formato:

aX + b = 0

Sendo:

  • X: a incógnita da equação;
  • a: um número real diferente de 0;
  • b: um número real qualquer;

Para resolver a equação do primeiro grau, podemos recorrer a fórmula geral:

x = -(b/a)

Vamos pegar um exemplo usando a equação que encontramos anteriormente:

3x+5 = 0

Aqui temos a=3 e b=5. Jogando na fórmula, temos o seguinte:

x = -5/3 = 1,6666…

Para tirar a prova real, basta substituir a incógnita da equação reduzida ou a original pelo valor encontrado e verificar se ambos os lados são iguais. Veja o exemplo da equação reduzida:

3.(-5/3)+5 = 0
-5+5=0
0=0

Agora, pela equação original:

(-5/3)+2 = -2.(-5/3)-3
â…“ = (10/3) – 3
â…“ = â…“

Então, não importa qual é o formato da equação, quando é tirada a prova real, ambos os lados devem resultar no mesmo número.

 

Equação do Segundo Grau

Equações do segundo grau são equações que, na forma reduzida,  possuem o seguinte formato:

aX² +bX + c = 0

Sendo:

  • X: a incógnita da equação;
  • b,c: um número real;
  • a: um número real diferente de 0;

Para resolver uma equação do segundo grau, usamos a Fórmula de Bhaskara:

Peraí, mas o que é aquele símbolo de “+” e “-” juntos? Deixe-me explicar outra coisa importante, que está relacionada ao grau da equação: a quantidade de resposta válidas. Uma equação de primeiro grau terá somente uma solução válida. Equações do segundo grau terão até duas respostas válidas e assim por diante. Neste caso, o símbolo em questão significa que quando você somar, obterá uma das respostas. Quando subtrair, achará a outra.

Para ficar claro, vamos pegar um exemplo:

x² – x – 20 = 0

Aplicando na fórmula, teremos:

A partir daqui, vamos separar a equação. Primeiro vamos somar e teremos:

x = (1+9)/2
x = (10)/2
x=5

A primeira resposta descoberta foi 5. Agora vamos diminuir para obter a outra resposta:

x = (1-9)/2
x=(-8)/2
x=-4

Então a outra resposta é -4. Portanto, as respostas da equação são -4 e 5.

Existem equações do segundo grau que farão com que a parte da raíz seja um número negativo. Isto significa que não existe um número real que satisfaça a equação, portanto, não se desespere caso apareça um número negativo na raíz.

A importância das Equações

As equações são fundamentais para quem deseja trabalhar não só com jogos, mas também na área de programação. Precisamos saber equações para calcular a posição dos nossos personagens durante o jogo (Física), ou então como deixar o aviso de um perigo iminente centralizado independente da resolução do jogo (computação gráfica).

Equações com algum significado especial têm um nome especial chamado função e possuem propriedades muito interessantes, mas isso será assunto para o próximo tutorial.




Thalisson Christiano de Almeida

Thalisson Christiano de Almeida

Formado em Ciência da Computação (UDESC). Foi Programador da Céu Games e professor do Técnico em Informática do SENAI-SC. Atualmente, trabalha na empresa By Seven. Já foi jogador de xadrez e praticou kung-fu, ambos por 4 anos. Hoje é praticante do Jiu-jitsu, esperando que não fique nos 4 anos. Não tem preferência de tipos de jogos em especifico, variando desde jogos casuais de Facebook até jogos mais hardcore.

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