Tutorial: Matemática Aplicada a Jogos Digitais – Parte 5: Ângulos

O conceito de ângulo é algo tão fácil de demonstrar, mas ao mesmo tempo difícil de explicar (este foi o tutorial mais difícil de escrever).

Na escola, aprendemos que ângulo é a relação entre dois segmentos de reta que possuem um ponto em comum chamado vértice. Entretanto, nunca fica claro no que realmente podemos usar os conceitos de ângulos, porque nunca foi dado contexto fora da trigonometria.

Então vamos nos aprofundar a seguir.

1. O que é ângulo?

Falei na introdução que ângulo é a relação entre dois segmentos de reta que possuem um ponto em comum chamado vértice, mas que tipo de relação é essa? Vamos observar as seguintes imagens:


Figura 1: Diversos segmentos de Retas com um ponto em comum

Temos aqui três imagens de dois segmentos de retas que se cruzam em um ponto. Este ponto é o que chamamos de vértices. E o que mais podemos observar? Podemos observar na forma, que a reta está inclinada. A imagem A mostra uma reta mais fechada, enquanto a imagem B uma inclinação mais reta e finalmente na imagem C, uma inclinação mais fechada. E se nós quisermos medir essa inclinação? Então, chegamos ao nosso ponto principal: a métrica do quão inclinado é um segmento de reta em relação a outra é o que chamamos de ângulo.

Existem duas medidas de ângulo utilizadas atualmente: graus (º) e radianos (rad). Para calcular um grau, você divide um círculo em 360 partes iguais. Feito isso, cada raio terá 1º em relação ao raio vizinho. Quem deu origem a esta medida foi a Babilônia, pois acreditavam que um ano tem 360 dias. Como a medida em graus geralmente é referente a valores racionais e na maioria dos casos, valores inteiros, esta é a unidade de medida mais popular.


Imagem 2: A parte vermelha é a medida de 1º. As linhas azuis são raios com 1º em relação ao anterior até o raio que forma 90º com o primeiro raio.

Já o radiano é a medida SI do ângulo, e portanto, a medida padrão para o meio acadêmico, por isso em muitas bibliotecas de matemáticas se utilizam dele como unidade de medida de ângulo. Entretanto, não é muito popular porque a maioria de suas medidas acabam envolvendo o número irracional π (pi). O motivo vem do cálculo usado para medir 1 rad. Imagine um círculo com seu raio. Agora pegue a medida do raio e percorra no arco deste círculo a mesma distância do raio. E então trace um novo raio para o centro. O ângulo que formou entre estes dois raios é o valor de 1 radiano. Se ficou confuso, a imagem abaixo vai ajudar a entender:


Imagem 3: 1 radiano é o ângulo formado entre as duas pontas de um segmento de círculo, cujo comprimento é igual ao raio.

Como pode ver na animação, esta medida não fecha uma volta completa com um valor racional, cujo valor exato é 2π rad, ou aproximadamente 6,28318530718 rad. Por isso que o valor em graus é mais popular e mais fácil de usar.
Podemos criar uma equação para converter graus e radianos e vice-versa usando a regra de 3:

O valor de X é o valor em graus que temos ou buscamos e o Y é o valor em radianos que buscamos ou temos. Então, podemos a partir desta equação criar uma função que, dado a um valor em graus, transforme em radianos e outra função que, dando um valor de radianos, transforme em graus. Para isso, basta isolar a incógnita que queremos encontrar.

Então, vamos primeiro encontrar a função que transforma um valor em graus em radianos. O valor que buscamos em radianos é representado pelo Y, portanto é esta letra que vamos isolar na equação:

Com isso, determinamos que a função que converte um valor em graus em radianos é a seguinte:

Já para determinar a função oposta, basta isolarmos o X a partir deste ponto:

Note que as imagens das funções para um domínio de números reais a partir de 0 é de um intervalo de [0º,360º[ para graus ou em radianos [0 rad, 2π[. Valores fora do intervalo podem ser convertidos para um valor que está dentro do mesmo, isto porque como um ângulo de 360º é uma volta completa, logo um ângulo de 360º é igual ao um ângulo de 0º, e assim vale para outros valores acima de 360º (ou 2π rad). Já se ampliarmos o domínio para números negativos, logo teremos um ângulo em sentido contrário. Isto porque a medida do ângulo pode ser feita em qualquer dos dois lados. Pegamos a imagem seguinte:


Imagem 4: O segmento de reta A se encontra com o Segmento de reta B

Pegando o segmento A como referência, nós podemos medir um ângulo de 90º se seguirmos no sentido anti-horário, ou podemos medir um ângulo de 270º graus no sentido horário.


Imagem 5: Se medirmos em sentido anti-horários, temos 90º. Em sentido horário, temos 270º

O sentido padrão do Sistema Internacional é o sentido anti-horário, ou seja, valores dos ângulos são positivos quando medidos em sentido anti-horário e negativos quando medidos no sentido horário. Claro que isto é apenas uma convenção, uma vez que não existem medidas espaciais negativas, mas isto faz diferença na hora de programar, se você não estiver atento no sentido de como a biblioteca considera o ângulo.

Outra propriedade importante que pode-se observar é que a soma das medidas sempre vai dar 360º (ou 2π rad). Isto se deve porque um lado é o complemento do outro.
2.  Ângulos Especiais

Alguns ângulos possuem uma certa importância na matemática e, por isso, acabaram ganhando uma nomeclatura especial. São eles:

  • Ângulo Reto: são aqueles que medem 90º. Sua importância é visto principalmente na trigonometria, no qual é estudado principalmente o triângulo retângulo, sendo que um dos vértices possui esta angulação. Graças a este ângulo temos o Teorema de Pitágoras. Um ângulo reto pode ser representado por um quadrado no vértice das retas.

Imagem 6:  Ângulo Reto são ângulos de 90º ou π/2 rad

  • Ângulo Raso: é aquele que mede 180º. Este ângulo coloca as duas retas na mesma linha, formando um semi-círculo.

Imagem 7:  Ângulo Raso são ângulos de 180º ou π rad

  • Ângulo Completo ou Giro: é aquele que mede 360º, resultando na prática, um ângulo de 0º. Isto acontece bastante quando se mexe com animações.


Imagem 8:  Ângulo Giro ou Completo são ângulos de 360º ou 2π rad

 

3.  Ângulos na Prática: Rotação de Imagens

No computador, ângulos podem ser usados para girar imagens. Entretanto existe um fator importante: dependendo de onde você gira, você pode simplesmente rotacionar, mas também pode criar um movimento de translação. Esse ponto, matematicamente falando chama-se eixo de rotação, mas na linguagem de programação, chamamos de ponto de referência.
Em programação este nome é bem comum, porque não somente funcionará como eixo de rotação, mas também é o ponto da imagem que será posicionado no local indicado usando o plano cartesiano da tela. Mas vamos para a pergunta: no que interfere o ponto de referência?
Observe a imagem abaixo:


Imagem 9: O Ponto Azul é o Ponto de Referência

Na imagem de cima, o ponto azul é o ponto de referência da imagem que, neste caso, está centralizado no quadrado. A área branca representa a tela de um computador. Agora observe o que acontecerá quando rotacionar o quadrado colorido através do ponto de referência:


Imagem 10: Girando a imagem com um ponto de referência no centro

Note que quando o ponto de referência está exatamente no centro da imagem, a imagem gira em torno de si mesma, ou seja, a imagem rotaciona. Agora, veja a imagem a seguir, onde o ponto de referência do quadrado está alguns pixeis abaixo do mesmo:


Imagem 11: O ponto de referência está abaixo do Quadrado

Agora, vou rotacionar a imagem, lembrando que a rotação sempre vai ser no ponto de referência:


Imagem 12: O quadrado “orbita” o ponto de referência

Aqui podemos ver claramente que o quadrado está girando em torno do ponto de referência, causando um efeito semelhante ao de translação da Terra em torno do Sol. Por isso devemos ter cuidado com as definições dos pontos de referência durante o desenvolvimento do nosso jogo: se precisarmos rotacionar tal sprite, a rotação sempre usará o ponto de referência como eixo de rotação e como pudemos ver: um eixo de rotação centralizado na imagem irá girar a imagem, enquanto um eixo em outro lugar irá fazer com que a imagem mude de lugar.

 

4. Considerações Finais

Neste tutorial falei sobre ângulos e as origens de suas duas principais medidas: Graus e Radianos. Também mostrei os ângulos sendo aplicado na prática, sendo usado para rotacionar as imagens.

O próximo tutorial estarei falando de relações trigonométricas, que também é muito necessário e tem uma intimidade com os ângulos.

Então, nos vemos no próximo tutorial, Até mais.

 

Thalisson Christiano de Almeida

Thalisson Christiano de Almeida

Formado em Ciência da Computação (UDESC). Foi Programador da Céu Games e professor do Técnico em Informática do SENAI-SC. Atualmente, trabalha na empresa By Seven. Já foi jogador de xadrez e praticou kung-fu, ambos por 4 anos. Hoje é praticante do Jiu-jitsu, esperando que não fique nos 4 anos. Não tem preferência de tipos de jogos em especifico, variando desde jogos casuais de Facebook até jogos mais hardcore.

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