Tutorial: Matemática Aplicada a Jogos Digitais – Parte 6: Seno, Cosseno e Tangente

Essas são três palavras que ouvi e muito na época que estava na escola: Seno, cosseno e tangente. Entretanto, nunca entendi bem o significado delas.

Na época que jogava Pangya, um jogo de golfe on-line, os jogadores mais tops tentavam explicar como é que eles calculavam as jogadas, e eis que eles passavam uma fórmula em que lse evava em consideração o cosseno do ângulo do vento em relação a direção da tacada.

Na época eu simplesmente achei melhor fazer as jogadas no achômetro. Entretanto, quando comecei a desenvolver jogos sem ajuda de engines, não deu para escapar e finalmente compreendi esses três elementos.

E hoje passarei este conhecimento para vocês.

 

1. Seno e Cosseno no Círculo Trigonométrico

O Círculo Trigonométrico é um recurso que vai ajudar a entender estes três conceitos: como o nome diz, é um círculo que tem raio medindo 1, cujo o centro fica localizado na origem de um plano cartesiano.

Figura 1: Círculo trigonométrico possui raio no tamanho de 1 unidade e seu centro fica na origem de um plano cartesiano

Mas o que esse círculo tem a ver com seno, cosseno e tangente? Deixe-me explicar: supomos que você queira andar um metro em um ângulo de 45º no sentindo nordeste. Note que como quero andar exatamente 1 metro, eu ficaria em um ponto do círculo:


Figura 2: Se eu andar 1 unidade em qualquer direção, sempre ficarei em algum ponto do círculo

Agora eu pergunto: Quantas unidades eu andei na direção eixo x e quantas unidades eu andei na direção do eixo y? Você pode pensar em Teorema de Pitágoras, mas temos apenas o valor da hipotenusa do triângulo que formaria no círculo. Entretanto, em troca dos catetos, temos um ângulo. Aí que entram os conceitos de seno e cosseno de um ângulo. O valor que eu andei no eixo horizontal será o cosseno do ângulo, enquanto o valor que andei no eixo vertical será o seno.

Figura 3: Seno é o quanto se anda na vertical e cosseno é o quanto se anda na horizontal.

Não irei passar como se calcula o seno e cosseno porque isto envolve cálculos mais avançados (quem sabe num tutorial de matemática avançada), mas apenas digo que o valor do cosseno de 45º é √2/2 e o valor do seno de 45º também é √2/2.
Observando a imagem acima, você pode perceber que tanto o seno quanto o cosseno são catetos do triângulo retângulo que se formou. Então, se aplicarmos o teorema de Pitágoras temos:

1 = Sen²(α) + Cos²(α)

Que é uma das fórmulas fundamentais da trigonometria. A animação abaixo mostra os valores do Seno e Cosseno conforme o ângulo vai aumentando no círculo trigonométrico:


Figura 4: Os valores do Seno e Cosseno conforme o ângulo aumenta

 

2. Tangente e o Círculo Trigonométrico

Na geometria, Tangente é uma reta que toca na superfície de um objeto, mas sem cortá-lo. Por isso, o caso da tangente é diferente do seno e cosseno, pois o valor da Tangente é obtido através de um eixo paralelo ao eixo das ordenadas, mas que é localizado na posição 1 do eixo das abscissas.

Figura 5: A reta tangente toca na superfície do círculo, mas não chega a cortar

Quando se tem um ângulo que gera uma reta, se expandirmos esta reta até tocar a reta tangente obtemos o tal valor da tangente.


Figura 6: Tangente de 45º é 1

Note que caso tente encontrar a tangente das retas de 90º ou de 270º, estas duas retas ficarão paralelas a reta tangente, fazendo com que a tangente desses dois ângulos não existam.

Existe também a cotangente, que seria a tangente em paralelo ao eixo das abscissas e o mais interessante é que o valor da cotangente é o inverso da tangente do mesmo ângulo, ou seja:

cotan(α) = 1/tan(α)

No círculo trigonométrico, os eixos que definem a tangente e cotangente ficariam assim:

Figura 7: Tangente definido pela reta verde e cotangente definido pela reta Laranja

 

3. Seno, Cosseno e Tangente na Prática

Seno e Cosseno são faceis de se imaginar uma aplicação prática: qualquer personagem que se move no espaço com uma velocidade controlada vai necessitar seno e cosseno na sua fórmula. Por exemplo, em um jogo de corrida, um carro que já atingiu a aceleração máxima se locomoveria obedecendo a seguinte equação:

SX = S0X + v*t*cos(α)
SY = S0Y + v*t*sen(α)

em que:

  • (SX, SY): é o ponto onde o carro estará após o cálculo;
  • (SX0, SY0): é o ponto onde o carro está atualmente;
  • v é a velocidade;
  • t é o tempo;

A equação do SX calculará o quanto que o carro andou no eixo x, enquanto o SY calculará o movimento no eixo y.

Enquanto isso, a tangente é bastante usado nas partes de cartografia para medição de um morro e tal. Entretanto, não consegui encontrar uma aplicação prática dentro dos jogos até a hora de fechar este texto.

Então, deixo uma pergunta: Você já necessitou de utilizar a tangente de um ângulo no desenvolvimento de algum jogo? Ou sabe alguma aplicação em que se usa?

Deixe seu comentário abaixo para ajudar a encontrar uma aplicação prática para a própria tangente! (sério, até mesmo na escola, sempre achei a tangente meio isolada dos outros dois). E até o próximo tutorial.

Thalisson Christiano de Almeida

Thalisson Christiano de Almeida

Formado em Ciência da Computação (UDESC). Foi Programador da Céu Games e professor do Técnico em Informática do SENAI-SC. Atualmente, trabalha na empresa By Seven. Já foi jogador de xadrez e praticou kung-fu, ambos por 4 anos. Hoje é praticante do Jiu-jitsu, esperando que não fique nos 4 anos. Não tem preferência de tipos de jogos em especifico, variando desde jogos casuais de Facebook até jogos mais hardcore.

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